Ejemplos de Cuartiles

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Definición de Cuartil:

El Cuartil (Q_n) es una medida estadística que se utiliza para indicar el valor por debajo del cual se encuentra un determinado porcentaje de observaciones.

Cada cuartil representa un 25% hasta llegar a 100% siendo 100% el total de las muestras analizadas:

• Cuartil 1 (Q₁): valor que es superior al del 25% de las muestras más bajas
• Cuartil 2 (Q₂): valor que es superior al del 50% de las muestras más bajas
• Cuartil 3 (Q₃): valor que es superior al del 75% de las muestras más bajas
• Cuartil 4 (Q₄): valor más alto

Por ejemplo, supongamos que el cuartil 1 (Q₁) del peso de un varón de 15 años es 51 kg. Esto significa que hay un 25% de varones de 15 años que pesan menos de 51 kg y un 75% que pesan más.

Cálculo de los Percentiles:

Existen varios métodos para el cálculo de percentiles. Veamos uno de los más sencillos (válido para datos no agrupados):

1. Agrupamos las muestras de menor a mayor valor

2. Calculamos la posición que ocupa el percentil buscado aplicando la siguiente fórmula:

 

siendo N el número total de muestras analizadas y la letra "i" el cuartil buscado

3. Si el resultado anterior (x) no tiene decimales, el cuartil se obtiene seleccionando el valor de la muestra que ocupa la posición x.

4. Si el resultado (x) tiene decimales, el cuartil se obtiene haciendo la media de las muestras en posición x y x+1

Equivalencias entre Cuartiles y otras Medidas:

Veamos algunas equivalencias entre los Percentiles y otras medidas como los Deciles y Cuartiles entre otros:

• Q₁ (cuartil 1) = P₂₅ (percentil 25)
• Q₂ (cuartil 2) = P₅₀ (percentil 50) =  D₅ (decil 5) = M_e (mediana)
• Q₃ (cuartil 3) = P₇₅ (percentil 75)
• Q₄ (cuartil 4) = P₁₀₀ (percentil 100) =  D₁₀ (decil 10)

Ejemplos y Aplicaciones de los Percentiles:

Veamos algunos ejemplos prácticos de la aplicación de los percentiles:

• Ejemplo 1: Calcular el cuartil 1 (Q₁) de las siguientes muestras de notas en matemáticas de un aula (notas de 0 a 20): 16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14
• Ordenamos de menor a mayor: 1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20
• N = número de muestras = 16 muestras
• x = (N · i) / 4 = (16 · 1) / 4 = 4
• Como x = 4 es un número sin decimales, entonces el cuartil 1 es el valor de la muestra que ocupa la posición 4
• Q₁ (cuartil 1) = 9

• Ejemplo 2: En un examen muy difícil de universidad, se obliga al profesor a aprobar al menos al 25%. Calcular la nota a partir de la cual está obligado a aprobar siendo las notas (notas de 0 a 20): 0, 4, 1, 0, 0, 7, 2, 1, 4, 0, 3, 9, 2, 0, 0, 4, 8, 1, 0, 9, 4
• Necesitamos calcular el cuartil 3 (Q₃) ya que nos interesa calcular el valor a partir del cual solo hay un 25% con mejores notas
• Ordenamos de menor a mayor: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 9
• N = número de muestras = 21 muestras
• x = (N · i) / 4 = (21· 3) / 4 = 15,75
• Como x = 15,75 es un número con decimales, entonces el cuartil 3 es la media de los valores que ocupan la posición 15 y 16
• Q₃ (cuartil 3) = (4 + 4) / 2 = 4
   

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Otros Conceptos Estadísticos:

• Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
• Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
• Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
• Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
• Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
• Moda (M_o) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
• Mediana (M_e): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
• Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
• Varianza (σ²): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
• Percentiles (P_n): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
• Deciles (D_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
• Cuartiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
• Quintiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
• Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
• Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (x_i) una probabilidad (p_i)
• Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor ≤ a un suceso
• Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
• Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
• Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
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versión 1 (08/02/2017)