Ejemplos de Teorema de Bayes

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Teorema de Bayes:

El Teorema de Bayes (Thomas Bayes, 1763) expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B, en términos de B dado A, mediante la fórmula:

donde: 

• P(A_i) son probabilidades de cada A_i (también llamadas "a priori")
• P(B | A_i)  son las probabilidades de B dado cada A_i
• P(A_i | B) son las probabilidades de cada A_i dado B (también llamadas "a posteriori")

Nota: el Teorema de Bayes se cumple bajo las siguientes condiciones:

• Los sucesos {A₁, A₂, ... , A_n} son sucesos mutuamente excluentes y exclusivos
• P(A_i) ≠ 0, para cualquier i
• La unión de todos los sucesos A₁, A₂, ... , A_n da como resultado todo el espacio muestral de A
• B es otro suceso del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A_i)

Ejemplos de Teorema de Bayes:

Veamos algunos ejemplos de cálculo de probabilidades condicionales en la que se utiliza el Teorema de Bayes:

• Ejemplo 1: un concursante debe elegir abrir 1 puerta de las 3 que están cerradas. Detrás de una de ellas hay un automóvil y en las otras 2 hay cabras. Antes de descubrir qué hay detrás de la puerta elegida, el moderador (que sabe lo que hay detrás) abre una de las otras 2 puertas en las que hay una cabra. A continuación el moderador le da la opción de cambiar su elección. ¿Qué debe hacer el concursante?

• Sea A = {1, 2, 3} la puerta aleatoria en la que está el Automóvil
• Sea C = {1, 2, 3} la puerta aleatoria que elige el Concursante
• Sea M = {automóvil, cabra} las opciones que hay detrás de la puerta que abre el Moderador

• La probabilidad P(M=cabra) es igual a 1 ya que el moderador va a buscar la puerta en la que está la cabra
• De la misma forma P(M=automóvil) es igual a 0

• La probabilidad de que el concursante consiga el automóvil si no cambia de puerta es P(acertar sin cambiar) = P(A=C) =

= P(A=C | M=cabra) · P(M=cabra) + P(A=C | M=automóvil) · P(M=automóvil) = (1/3) · 1 + P(A=C | M=automóvil) · 0 = 1/3

• La probabilidad de conseguir el automóvil si no cambia es 1/3
• La probabilidad de conseguir el automóvil cambiando es 1-1/3 = 2/3
• Por lo tanto le combiene siempre cambiar

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Otros Conceptos Estadísticos:

• Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
• Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
• Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
• Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
• Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
• Moda (M_o) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
• Mediana (M_e): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
• Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
• Varianza (σ²): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
• Percentiles (P_n): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
• Deciles (D_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
• Cuartiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
• Quintiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
• Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
• Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (x_i) una probabilidad (p_i)
• Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor ≤ a un suceso
• Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
• Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
• Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
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versión 1 (14/02/2017)