Teoría de Conjuntos

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Teoría de Conjuntos:

La Teoría de Conjuntos es la rama de la matemática que estudia las relaciones de los conjuntos y sus propiedades.

Los Conjuntos:

• Definición de Conjunto: un conjunto es una colección de objetos 
• Elementos de un conjunto: son cada una de los objetos que forman parte de un conjunto. Según su notación se clasifican en:
• Conjuntos por Extensión: A = {a, e, i, o, u}
• Conjuntos por Compresión: A = {vocales} o {x / x es vocal}
• Notación de Conjuntos: los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y sus elementos entre llaves

Veamos por ejemplo el conjunto de los números naturales expresado:  

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}

donde: 

• N es el conjunto de los números naturales

• 1, 2, 3... son cada uno de los elementos que forman el conjunto de números naturales

Los Subconjuntos:

Subconjuntos (⊂): un subconjunto de un conjunto A es aquel que está formado por un grupo de elementos de A (el conjunto vacío ∅ es un subconjunto de cualquier conjunto)

Sea P el conjunto de números pares: P = {2, 4, 6, 8...} El conjunto P está incluido dentro de conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} ya que todos los elementos de P están incluidos en N. 

Esta relación se expresa de la siguiente forma: P ⊂ N

Tipos de Subconjuntos:

• Subconjunto Propio: A ⊂ B, pero algún elemento de B no pertenece a A
• Subconjunto Impropio: A ⊆ B, pero ningún elemento de B no pertenece a A

Tipos de Conjuntos:

• Conjunto vacío (∅): es el conjunto que no está formado por ningún elemento
• Cardinal de un Conjunto: el cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee
• Conjunto finito: conjunto que presenta un número finito de elementos (por ej. el conjunto de días de la semana)
• Conjunto infinito: conjunto que presenta un número infinito de elementos (por ej. el conjunto de números naturales)
• Conjuntos iguales: dos conjuntos son iguales (A = B) si los dos tienen exactamente los mismos elementos
• Conjuntos desiguales: dos conjuntos son desiguales (A ≠ B) si no tienen exactamente los mismos elementos
• Conjunto universal: conjunto formado por todos los elementos de estudio dentro de un contexto determinado.
• Conjuntos unitarios: conjuntos formados por un único elemento
• Conjuntos equivalentes: conjuntos que tienen el mismo número de elementos | A | = | B |
• Conjuntos equipotentes o coordinables
• Conjuntos disjuntos: conjuntos sin elementos en común (A ∩ B = ∅)
• Conjunto ordenado
• Conjunto numerable: se le puede asociar una función de números naturales
• Conjunto no numerable: no se le puede asociar una función de números naturales
• Conjunto potencia: conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado
• Conjunto singular: conjunto que se contiene a sí mismo
• Conjunto normal: conjunto que no se contiene a sí mismo
• Conjunto Complementario: Sea A subconjunto de B, el complementario de A son los elementos de B que no pertenecen a A. 

Ver también:

• Conjunto abierto: todos sus elementos están rodeados por otros elementos del mismo conjunto
• Conjunto cerrado: tiene elementos que no están rodeados por otros elementos del conjunto

Relaciones:

• Relación de pertenencia o membresía (∈): relación mediante la cual un elemento pertenece a un conjunto o no
• Relación de igualdad: relación mediante la cual un conjunto es igual o distinto a otro
• Relación de inclusión: relación mediante la cual un conjunto es subconjunto de otro o no

Operaciones con Conjuntos:

• Diagramas de Venn: diagramas ovalados o redondeadosque representan a conjuntos. Son útiles para representar subconjuntos (un óvalo dentro de otro) o intersecciones, uniones, etc.

• Unión de Conjuntos: la unión de dos conjuntos A y B se expresa como A ∪ B
• Intersección de Conjuntos: la intersección de dos conjuntos A y B se expresa como A ∩ B
• Diferencia de Conjuntos: la diferencia de dos conjuntos se expresa como A - B (conjunto de elementos de A al que se le quitan los elementos del subconjunto B)
• Complemento de un Conjunto:
• Diferencia Simétrica de Conjuntos: A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) 
• Producto Cartesiano de Conjuntos: el producto cartesiano de dos conjuntos A y B se representa como A x B y está formado por pares de elementos (a, b) tales que a pertenece a A y b a B
• Operaciones combinadas
• Complemento Relativo: A \ B

• Propiedades de las Operaciones con Conjuntos
• Propiedades de identidad
• Propiedades de idempotencia
• Propiedades de complemento
• Propiedades asociativas
• Propiedades conmutativas
• Propiedades distributivas
• Álgebra de Conjuntos

versión 2 (17/03/2018)