Ejemplos de Bisectriz de un Triángulo

Matemáticas → Geometría → Polígonos → Triángulos → Bisectriz

Bisectriz de un Triángulo: 

Bisectrices de un triángulo y
circunfencia inscrita en el incentro

Las Bisectrices de un Triángulo son las rectas que partiendo de cada uno de los vértices dividen sus correspondientes ángulos internos en dos partes iguales .

En la figura de la izquierda se representan las 3 bisectrices de un triángulo cualquiera, las cuales se cortan en un único punto denominado Incentro. 

Dicho Incentro es un punto geométrico característico de los triángulos que es centro de la circunferencia tangente a los 3 lados de un triángulo.
 

¿Cómo se dibujan las Bisectrices de un Triángulo:

Para poder dibujar cada una de las bisectrices de un triángulo cualquiera vamos a seguir tres sencillos pasos. Necesitaremos un lápiz, una regla, un compás y un papel:

1. Trazamos un arco en uno de los vértices de un diámetro cualquiera que corte en cada uno de los dos lados contiguos del triángulo. Señalamos los dos puntos de corte para utilizarlos en el paso siguiente.
2. Sobre cada uno de los dos puntos anteriores volvemos a trazar dos arcos del mismo radio y señalamos el punto en que se cortan dichos arcos..
3. Por último trazamos una recta que pase por el último punto de corte y por el vértice original obteniendo así una de las 3 bisectrices del triángulo.
   
   Nota: las dos bisectrices restantes se pueden obtener procediendo de la misma manera sobre los vértices B y C.
   
   Nota: podremos obtener también el incentro del triángulo que vendrá representado por el punto en el que se cruzan las tres bisectrices del triángulo.
    

Teorema de la Bisectriz: 

Teorema de la Bisectriz

El Teorema de la Bisectriz nos dice que la razón entre dos lados es igual a la razón entre las partes que queda dividido el otro lado por la bisectriz.

Expresado en fórmula matemática el teorema de la bisectriz:

BA / AC = BD / DC

Nota: el Teorema de la Bisectriz es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.

versión 1 (30/11/2015)

Ejemplos de Mediana de un Triángulo

Matemáticas → Geometría → Polígonos → Triángulos → Mediana

Mediana de un Triángulo: 

La Mediana de un Triángulo es el segmento de línea recta que une cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

La Mediana también es llamada Transversal de Gravedad.

En la figura de la izquierda se muestran las 3 medianas de un triángulo que se cortan siempre en un único punto denominado Baricentro, Centroide o Centro de Gravedad (G).
 

¿Cómo se dibujan las Medianas de un Triángulo:

 

Para poder dibujar la mediana de un triángulo cualquiera vamos a seguir tres sencillos pasos. Necesitaremos un lápiz, una regla, un compás y un papel:

1. Trazamos dos arcos en cada uno de los dos vértices A y B de un radio igual y suficiente para que se crucen a ambos lados del lado del triángulo.
2. Unimos los dos puntos de intersección anteriores obteniendo una recta que divide al lado AB en dos partes iguales.
3. La línea anterior se cruza en el punto medio del lado AB del triángulo. Si unimos este punto con el vértice C obtendremos la mediana.
   
   Nota: las dos medianas restantes se pueden obtener procediendo de la misma manera sobre los lados BC y AC.
   
   Nota: podremos obtener también el baricentro que vendrá representado por el punto en el que se cruzan las tres medianas del triángulo.
    

Propiedades de las Medianas de un Triángulo: 

Las Medianas son elementos singulares de los Triángulos que presentan las siguientes propiedades geométricas:

• Cada una de las medianas divide al triángulo en dos triángulos de igual superfiice.
• Las tres medianas se cortan en el mismo punto llamado Baricentro, Centroide, Gravicentro o Centro de Gravedad.
• Dicho Baricentro se encuentra separado del vértice 2/3 de la longitud de la mediana y a 1/3 del lado opuesto. 

Teorema de la Mediana:

El Teorema de la Mediana o Teorema de Apolonio nos dice que la longitud de la mediana (M) de un triángulo y la longitud de sus lados (a, b y c) está relacionada de la siguiente manera:

a2 + b2 = 1/2 c2 + 2 M2

versión 1 (29/11/2015)

El Triángulo Equilátero

Matemáticas → Geometría → Polígonos → Triángulos → Equiláteros

El Triángulo Equilátero: 

Triángulo Equilátero
a=b=c,  α=β=γ=60º

Los Triángulos Equiláteros son aquellos Triángulos que tienen los 3 lados iguales.

Al tener los 3 lados iguales, los Triángulos Equiláteros también tienen sus 3 ángulos iguales midiendo cada uno 60º.







¿Cómo se dibuja un Triángulo Equilátero?:

Para poder dibujar un triángulo equilátero vamos a seguir cuatro sencillos pasos. Necesitaremos un lápiz, una regla, un compás y un papel:

1. Trazamos una línea recta sobre el papel
2.  Sobre un punto cualquiera de la recta (punto O) dibujamos una circunferencia del tamaño con el que queramos construir el triángulo equilátero
3. Sobre el punto de corte de la anterior circunferencia con la recta (punto O') trazamos un arco del mismo diámetro que la circunferencia anterior cortándola. 
4. Ahora simplemente tenemos que unir los dos puntos de la circunferencia que corta el arco anterior (puntos A y B) y el punto de la circunferencia inicial que corta a la recta en el otro extremo (punto C). Unimos estos tres puntos y obtenemos el triángulo equilátero que estábamos buscando.

Nota: si queremos que la base del triángulo equilátero esté en horizontal entonces en el paso 1 dibujaremos la recta en vertical.

Nota: el tamaño de la circunferencia determinará el tamaño del triángulo equilátero ya que sobre ella estarán contenidos sus 3 vértices.

Propiedades de los Triángulos Equiláteros: 

Los Triángulos Equiláteros presentan las siguientes propiedades geométricas:

• Los 3 lados de un triángulo equilátero miden lo mismo: a = b = c
• Los 3 ángulos de un triángulo equilátero miden lo mismo: α = β = γ
• Cada ángulo mide 180º / 3 = 60º 
• En un triángulo equilátero los siguientes elementos son iguales:
• Altura: recta que va perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto
• Mediana: recta que va de un vértice al punto medio de su lado opuesto
• Bisectriz: recta que corta en dos ángulos iguales un vértice 
• Mediatriz: recta perpendicular que corta a un lado del triángulo en dos partes iguales
• En un triángulo equilátero los siguientes puntos son coincidentes:
• Baricentro
• Incentro
• Circuncentro
• Ortocentro

Además dichos puntos se encuentran a doble distancia del vértice que del lado opuesto

Cálculo y Fórmulas en los Triángulos Equiláteros:

• Perímetro de un triángulo equilátero:

Perímetro (p) = 3a

donde a es la longitud de uno de sus lados

• Altura de un triángulo equilátero:

Altura (h) = a ·	√3	·
	2 .

• Superficie de un triángulo equilátero:

Superficie (A) = a2 ·	√3	·
	4 .

versión 1 (29/11/2015)