Rango de una Matriz

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Rango de una Matriz:

El Rango de una Matriz, expresado como r(A), rang(A) o rg(A), es el número de filas o columnas de esa matriz que son linealmente independientes.

Nota: las filas o columnas independientes son aquellas que no pueden expresarse como una combinación de las demás:

Ejemplo 1: las filas (1,1,1) y (2,2,2) son linealmente dependientes ya que la segunda es el resultado de multiplicar la primera por 2.

Ejemplo 2: sean las filas (1,0,1), (0,1,1) y (1,1,1). La tercera fila es dependiente ya que puede ser expresada como la suma de las dos anteriores.

Ejemplo 3: las filas (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) son linealmente independientes ya que ninguna de ellas puede ser expreada como combinación de las otras 2.

Ejemplos de Cálculo del Rango de una Matriz:

El primer paso para calcular el rango de una matriz es descartar filas o columnas que:

1. todos sus valores son iguales a 0, por ejemplo (0,0,0)
2. son iguales a otras, por ejemplo, se puede descartar una de las filas siguientes: (2,1,3) y (2,1,3)
3. son proporcionales a otras, por ejemplo, (2,2,2) es proporcional a (1,1,1)
4. son combinación de otras, por ejemplo, (1,1,1) es la suma de (1,0,1) y (0,1,0)

A continuación existen 2 métodos para el cálculo del rango: el método de Gauss y el método de los determinantes.

1. Método de Gauss:

Consiste en transformar la matriz en una matriz triangular superior (todos los valores por debajo son 0) mediante transformaciones elementales:

• Si la matriz tiene más filas que columnas usamos la traspuesta 

• Mediante transformaciones elementales convertimos la matriz en una matriz triangular superior

• Se obtiene el rango como el número de filas

Ejemplos de Cálculo del Rango por Gauss:

Veamos un ejemplo de cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss:

En primer lugar eliminamos las siguientes filas:

• Fila 6: ya que es una fila con todos sus valores iguales a 0
• Fila 5: ya que es proporcional a la fila 4 (multiplicada por 2)
• Fila 4: ya que es igual a la fila 1

Queda por lo tanto la siguiente submatriz:

Aplicamos el método de Gauss transformando la matriz en triangular superior:

• Fila 2 = Fila 1 - Fila 2

• Intercambiamos la Fila 2 por la Fila 3

Hemos obtenido una matriz triangular superior con 3 filas distintas de 0, por lo tanto, el rango de la matriz A es 3, r(A) = 3.

2. Método de los Determinantes:

Consiste en encontrar la submatriz cuadrada de mayor tamaño cuyo determinante es distinto de 0.

El rango de la matriz se corresponderá con el tamaño de dicha submatriz.

Ejemplos de Cálculo del Rango por Determinantes:

Veamos un ejemplo de cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss:

En primer lugar eliminamos las siguientes filas como en el caso anterior:

• Fila 6: ya que es una fila con todos sus valores iguales a 0
• Fila 5: ya que es proporcional a la fila 4 (multiplicada por 2)
• Fila 4: ya que es igual a la fila 1

Queda por lo tanto la siguiente submatriz:

A continuación vamos calculando determinantes de menor a mayor tamaño:

• Sea la submatriz (1) → |1| = 1 ≠ 0 (por lo tanto el rango es al menos 1)
• Calculamos ahora el determinante de la siguiente submatriz de orden 2:

Como es diferente de 0, entonces la matriz tiene un rango de al menos 2

• Calculamos ahora determinantes de submatrices de orden 3 buscando alguna que sea diferente de 0:

Como es diferente de 0 y se trata de la mayor submatriz cuadrada posible, entonces la matriz tiene un rango 3, r(A) = 3.

Propiedades del Rango de una Matriz:

• En una matriz cualquiera, el número de filas y columnas linealmente independientes es siempre el mismo
• El rango de una matriz cualquiera es siempre mayor o igual que cero
• El rengo de una matriz cualquieres es siempre menor o igual que el menor número entre filas o columnas
• Una matriz tiene el mismo rango que su traspuesta 

Ver También:

• Matriz Antisimétrica: matriz que es igual a su traspuesta cambiada de signo (A = -A^T)
• Matriz Columna: matriz que está formada solamente por una columna
• Matriz Cuadrada: matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas
• Matriz Diagonal: matriz con todos los elementos que no estén en la diagonal principal iguales a 0
• Matriz Escalar: matriz con todos los elementos de la diagonal principal del mismo valor 
• Matriz Fila: matriz que está formada solamente por una fila
• Matriz Idempotente: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la misma matriz
• Matriz Identidad: matriz cuadrada con valores 1 en la diagonal principal y el resto de valores igual a 0
• Matriz Inversa: matriz que multiplicada por la matriz origen da la matriz dentidad: A x  A⁻¹ = I
• Matriz Involutiva: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la matriz unidad o identidad
• Matriz Nula: es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0 
• Matriz Ortogonal: matriz que multiplicada por su traspuesta resulta la matriz identidad (A · A^T = I)
• Matriz Rectangular: matriz que tiene el distinto número de filas que de columnas
• Matriz Regular: es aquella matriz cuadrada que tiene inversa
• Matriz Simétrica: matriz cuadrada que es igual a su traspuesta (A = A^T)
• Matriz Singular: es aquella matriz que no posee inversa 
• Matriz Traspuesta: matriz que resulta de intercambiar los valores de las filas por los de las columnas
• Matriz Triangular Superior: matriz con todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a 0
• Matriz Triangular Inferior: matriz con todos los elementos por encima de la diagonal principal igual a 0

versión 2 (12/03/2017)