Ejemplos de Diagonalización de Matrices

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Definición de Diagonalización:

La Diagonalización de una Matriz A consiste en expresarla de la manera más sencilla posible a través de una matriz invertible P y otra diagonal D de manera que:

 A = P · D · P^-1

La anterior expresión se puede expresar como:

AP = PD

Como la matriz D es diagonal, se cumple que:

A·x_i = λ_iD,  donde x_i es la columna i de A (llamado vector propio) y λ_i es el número en el lugar i de la diagonal de D (llamado autovalor)

Propiedades:

• Los valores de la diagonal de la matriz diagonal está formada por valores propios de A (autovalores)
• Dentro de la matriz P, la columna i es el vector propio asociado al autovalor de posición i
• Las matrices que son reales y simétricas son diagonalizables

Ejemplos de Diagonalización:

Veamos el ejemplo de diagonalización de la matriz:

• En primer lugar calculamos los autovalores:

|A - λI| = 0

Si calculamos el determinante por la regla de Sarrus, obtenemos que:

(1 - λ)²(λ² - λ - 2) = 0

Por lo tanto, los autovalor son: λ = 1, λ = -1 y λ = 2

• En segundo lugar calculamos los vectores propios:
• Primer vector propio = (1, 0, 0)
• Segundo vector propio = (1,-4, 2)
• Tercer vector propio = (5,1,1)

Por lo tanto, la matriz P quedaría como el resultado de los vectores propios:

y la matriz diagonal como resultado de los autovalores:

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Ver También:

• Matriz Antisimétrica: matriz que es igual a su traspuesta cambiada de signo (A = -A^T)
• Matriz Columna: matriz que está formada solamente por una columna
• Matriz Cuadrada: matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas
• Matriz Diagonal: matriz con todos los elementos que no estén en la diagonal principal iguales a 0
• Matriz Escalar: matriz con todos los elementos de la diagonal principal del mismo valor 
• Matriz Fila: matriz que está formada solamente por una fila
• Matriz Idempotente: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la misma matriz
• Matriz Identidad: matriz cuadrada con valores 1 en la diagonal principal y el resto de valores igual a 0
• Matriz Inversa: matriz que multiplicada por la matriz origen da la matriz dentidad: A x  A⁻¹ = I
• Matriz Involutiva: matriz que multiplicada por si misma da como resultado la matriz unidad o identidad
• Matriz Nula: es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0 
• Matriz Ortogonal: matriz que multiplicada por su traspuesta resulta la matriz identidad (A · A^T = I)
• Matriz Rectangular: matriz que tiene el distinto número de filas que de columnas
• Matriz Regular: es aquella matriz cuadrada que tiene inversa
• Matriz Simétrica: matriz cuadrada que es igual a su traspuesta (A = A^T)
• Matriz Singular: es aquella matriz que no posee inversa 
• Matriz Traspuesta: matriz que resulta de intercambiar los valores de las filas por los de las columnas
• Matriz Triangular Superior: matriz con todos los elementos por debajo de la diagonal principal igual a 0
• Matriz Triangular Inferior: matriz con todos los elementos por encima de la diagonal principal igual a 0

versión 1 (21/03/2017)