Ejemplos de Función Convexa

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Definición de Concavidad:

La Concavidad y Convexidad de una Función indica la manera de cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente.

Más concretamente, sea una función f que posea primera y segunda derivada diferentes de cero, es decir:

• ∃ f'(x) ≠ 0
• ∃ f''(x) ≠ 0

Entonces:

• Una función f(x) es Cóncava si f''(x) < 0

• Una función f(x) es Convexa si f''(x) < 0

Propiedades de las Funciones Convexas:

Las funciones cóncavas tienen la propiedad de que la recta que une dos puntos cualquiera queda siempre por debajo de la función:

Ejemplos de Funciones Convexas:

Para entender mejor el concepto de función convexa, veamos algunos ejemplos.

• Ejemplo 1:

Tomemos la función: f(x) = x³ + 2x² + 1

 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:

• f'(x) = 3x² + 4x

• f''(x) = 6x + 4

A continuación calculamos el punto (si existe) que divide la segunda derivada en valores positivos y en valores negativos (es decir, el punto de inflexión):

• f''(x) = 0 → 6x + 4 = 0 → x = -4/6 = -2/3 (punto de inflexión)
  

Los puntos a la izquierda del punto de inflexión toman valores negativos y por la derecha valores positivos. Entonces:

(-∞, -2/3) → la función es cóncava

(-2/3, +∞) → la función es convexa

 

• Ejemplo 2:

Tomemos la función f(x) = x²

 Dicha función posee derivadas primera y segunda diferentes de 0:

• f'(x) = 2x
• f''(x) = 2 > 0

 

Como la segunda derivada de f es positiva, entonces la función es convexa.

El significado de la segunda derivada tiene que ver en cómo varía la pendiente de la función con respecto a la variable independiente (x). En la gráfica vemos como la pendiente va aumentando a medida que se incrementa x ya que su segunda derivada es positiva.

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Tipos de Funciones:

Veamos los diferentes tipos de funciones:

• Función Real: f: R → R
• Función Compleja: f: C → C 
• Función Escalar: f: Rⁿ → R 
• Función Vectorial: f: Rⁿ → R^m
• Función Identidad
• Función Inyectiva
• Función Biyectiva
• Función Sobreyectiva
• Función Inversa
• Función Continua
• Función Constante
• Función Compuesta
• ...

versión 1 (16/05/2017)