Ejemplos de Función Decreciente en un Intervalo

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Definición de Función Decreciente:

Las Funciones Decrecientes son aquellas funciones en las que al aumentar la variable independiente (x), aumenta la variable dependiente (y). Es decir:

Sean dos puntos x₁ y x₂ de una función f tales que x₁ < x₂. Entonces:

La función f es decreciente si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ se cumple que f(x₁) ≥ f(x₂) (ver gráfica abajo).

También tenemos que la función f es decreciente si para todo punto x se cumple que f'(x) ≤ 0

Función Decreciente en un Intervalo:

Supongamos que ahora tenemos una función con intervalos en los que es creciente y otros en los que es decreciente, por ejemplo la función de la gráfica a continuación:

Para analizar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se procede de la siguiente manera:

• Derivamos la función: f'(x)
• Obtenemos las raíces de la derivada primera, es decir, resolvemos la ecuación f'(x) = 0
• Se identifican los intervalos entre los puntos en los que f'(x) = 0, es decir las raíces.
• Para cada intervalo se toma un valor cualquiera:
• Si f'(x) >0 entonces el intervalo es creciente
• Si f'(x) < 0 entonces el intervalo es decreciente

Ejemplos de Intervalos de Crecimiento:
 
Ejemplo 1: Sea la siguiente función f(x) = -x³ / (2x + 1),  calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

•  Observamos que el cociente se hace 0 para x = -1/2 → debemos tener en cuenta que ese punto está dentro del dominio de la función

• En primer lugar derivamos la función: f'(x)

f'(x) =  - [x²· (4x + 3)] / (2x + 1)²

• Obtenemos las raíces de la ecuación f'(x) = 0

f'(x) = 0

- [x²· (4x + 3)] / (2x + 1)² = 0

El numerador se hace 0 para: - x² (4x + 3) = 0

Entonces las Raíces son:

• x = 0
• x = -3/4

• Identificamos los intervalos:

(-∞, -3/4)

(-3/4, -1/2)

(-1/2, 0)

(0, +∞)

• Tomamos un valor de cada intervalo y analizamos si la función es creciente o decreciente:

(-∞, -3/4) → tomamos el valor -1 → f'(-1) = - [(-1)²· (4(-1) + 3)] / (2(-1) + 1)² > 0 → la función f es creciente en este intervalo

(-3/4, -1/2) → tomamos el valor -2/3 → f'(-2/3) = - [(-2/3)²· (4(-2/3) + 3)] / (2(-2/3) + 1)² < 0 → la función f es decreciente en este intervalo

(-1/2, 0) → tomamos el valor -1/3 → f'(-1/3) = - [(-1/3)²· (4(-1/3) + 3)] / (2(-1/3) + 1)² < 0 → la función f es decreciente en este intervalo

(0, +∞) → tomamos el valor 1 → f'(1) = - [(1)²· (4(1) + 3)] / (2(1) + 1)² < 0 → la función f es decreciente en este intervalo

Por lo tanto, el intervalo de crecimiento es (-∞, -3/4) y los intervalos de decrecimiento son (-3/4, -1/2) ∪ (-1/2, 0) ∪ (0, +∞)

Ejemplo 2: Sea la siguiente función f(x) = x³ +2x² + 1, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

• En primer lugar derivamos la función: f'(x)

f'(x) =  3x² +4x

• Obtenemos las raíces de la ecuación f'(x) = 0

f'(x) = 0

3x² +4x = 0

x (3x + 4) = 0

Raíces:

• x = 0
• x = -4/3

• Identificamos los intervalos:

(-∞, -4/3)

(-4/3, 0)

(0, +∞)

• Tomamos un valor de cada intervalo y analizamos si la función es creciente o decreciente:

(-∞, -4/3) → tomamos el valor -2 → f'(-2) = 3(-2)² +4(-2) = 12 - 8= 4 > 0 → la función f es creciente en este intervalo

(-4/3, 0) → tomamos el valor -1 → f'(-1) = 3(-1)² +4(-1) = 3 - 4= -1 < 0 → la función f es decreciente en este intervalo

(0, +∞) → tomamos el valor 1 → f'(1) = 3(1)² +4(1) = 3 + 4= 7 > 0 → la función f es creciente en este intervalo

Por lo tanto, el intervalo de decrecimiento es (-4/3, 0) y los intervalos de crecimiento son (-∞, -4/3) ∪ (0, +∞)

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Otros Tipos de Funciones:

• Función Acotada: función f tal que para cualquier valor de x, -m ≤ f(x) ≤ m 
• Función Afín: f(x) = mx + n (donde m y n ≠ 0)
• Función Algebraica: expresiones algebraicas (suma, resta, multiplicación...) de números y variables
• Función Compleja: f: S → C, donde C es el conjunto de los números complejos
• Función Continua: función cuya curva está formada por un trazo continuo sin saltos
• Función Constante: f(x) = m, donde m es constante
• Función Creciente: función f tal que f(x₁) ≤ f(x₂) para cualquier par de puntos x₁ < x₂
• Función Cuadrática:  f(x) = ax² + bx + c
• Función Cúbica: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
• Función Decreciente: función f tal que f(x₁) ≥ f(x₂) para cualquier par de puntos x₁ > x₂
• Función Discontinua: función cuya curva está formada por un trazo con saltos o roto en su trazo
• Función Escalar: f: Rⁿ → R 
• Función Explícita: y = f(x)
• Función Exponencial: f(x) = e^x
• Función Identidad: f(x) = x
• Función Impar: f(-x) = -f(x)
• Función Implícita: y ≠ f(x)
• Función Inversa: f^-1(x)
• Función Lineal: f(x) = mx
• Función Logarítmica: f(x) = log_a x
• Función Par: f(x) = f(-x)
• Función Parte Entera: f(x) = E(x)
• Función Periódica: f(x) = f(x + T)
• Función Polinómica: f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀
• Función Potencial: f(x) = x^a
• Función Primitiva: F(x)
• Función Racional: f(x) = P(x) / Q(x) donde P y Q son dos polinomios
• Función Real: f: R → R 
• Función Trigonométrica: incluye en su fórmula alguna razón trigonométrica (seno, coseno, tangente...)
• Función Valor Absoluto: f(x) = |P(x)| donde P es un polinomio
• Función Vectorial: f: Rⁿ → R^m

versión 1 (08/05/2017)