Ejemplos de Función Inversa

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Definición de Función Inversa:

Las Funciones Inversas (también llamadas Funciones Recíprocas) son aquellas funciones que realizan la operación inversa convirtiendo los valores de imagen en los valores de dominio. Esto es:

Sea f una función que convierte valores de un conjunto A en valores de un conjunto B:

f: A → B

f(a) = b

Entonces su función inversa (si existe) es aquella función f^-1 que cumple:

f^-1: B → A

f^-1(b) = a

Nota: es importante no confundir la función inversa con la inversa de una función.

Ejemplos de Funciones Inversas:


Para calcular la función inversa de una función es necesario seguir varios pasos:

• Escribir la función con x e y (donde f(x) = y)
• Despejar x en función de y
• Intercambiar las variables

Veamos algunos ejemplos de cálculo de funciones inversas:

• f(x) = (2x + 1) / (x - 1)

• Escribimos la función con x e y:  

y = (2x + 1) / (x - 1)

• Despejamos x en función de y:

y · (x - 1) = 2x + 1

y·x - y = 2x + 1

y·x - 2x = y + 1

x · (y - 2) = y + 1

x = (y + 1) / (y - 2)

• Intercambiamos las variables:

f^-1(x) = (x + 1) / (x - 2)

Para comprobar que es correcto realizamos la siguiente comprobación:

• f(2) = (2·2 + 1) / (2 -1) = 5

 Si f(2) es igual a 5 entonces f^-1(5) debe ser igual a 2:

• f^-1(5) = (5 + 1) / (5 - 2) = 6 / 3 = 2

Hemos verificado por lo tanto que la función inversa está bien calculada.

• f(x) =x² 

• Escribimos la función con x e y:  

y = x²

• Despejamos x en función de y:

x = y²

y = ±√x

• Intercambiamos las variables:

f^-1(x) = ±√x

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios.

Propiedades de la Función Inversa:

• Una función no tiene por qué tener función inversa siempre
• Si una función es biyectiva entonces tiene función inversa siempre
• Si existe función inversa, entonces esta es única
• La gráfica de una función y su función inversa (si existe) son simétricas respecto al eje formado por la función identidad f(x) = x
• La función inversa de una función inversa es la propia función
• La composición de una función y su función inversa tiene como resultado la función identidad:

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Tipos de Funciones:

Veamos los diferentes tipos de funciones:

• Función Real: f: R → R
• Función Compleja: f: C → C 
• Función Escalar: f: Rⁿ → R 
• Función Vectorial: f: Rⁿ → R^m
• Función Identidad
• Función Inyectiva
• Función Biyectiva
• Función Sobreyectiva
• Función Inversa
• Función Continua
• Función Constante
• Función Compuesta
• ...

versión 1 (05/05/2017)