Variaciones con Repetición

Probabilidad → Combinatoria → Variaciones con Repetición

Las Variaciones:

En la Combinatoria, se definen las variaciones con repetición de la siguiente manera:

Las Variaciones con Repetición son formas de agrupar elementos en las que: 

• solo se toman algunos elementos de un conjunto
• se pueden repetir los elementos
• el orden importa ({A, B} y {B, A} se consideran grupos diferentes)

Nota: no se deben confundir las variaciones con repetición de las variaciones ordinarias sin repetición.

Ejemplo: sea el conjunto {A, B, C}, ¿cuántos grupos de dos letras se pueden formar?

Si buscamos los diferente grupos, obtenemos:

{A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, A}, {B, B}, {B, C}, {C, A}, {C, B}, {C, C} → obtenemos 9 variaciones

Fórmula:

Para calcular el número de variaciones con repetición podemos emplear la siguiente fórmula:

donde m es el número de elementos del conjunto y n el número de elementos tomados

En el ejemplo anterior m= 3 y n=2, por lo tanto:

V₃² = 3² = 9 → obtenemos el mismo resultado

Ejemplos de Variaciones con Repetición:

Para entender mejor el concepto de variaciones con repetición, vamos a resolver varios ejercicios de cálculo de variaciones:

Ejercicio 1: Sabiendo que existen 27 letras en el abecedario, ¿cuántas formas diferentes hay de escribir grupos de tres letras (pudiendo repetirlas)? Por ejemplo JEJ, AYT, BBC...

Solución:

• Primero verificamos que estamos ante una Variación con Repetición:

• Solo se toman solo algunos elementos del grupo (3 letras de las 27 del abecedario) → correcto

• Se pueden repetir elementos (podemos formar grupos como BBC, TTT, etc.) → correcto

• El orden importa (no es lo mismo ABC que CBA por ejemplo) → correcto

• Después de comprobar que efectivamente se trata de una variación con repetición, calculamos el número de grupos diferentes que se pueden formar:

m = 27 letras disponibles

n = 3 letras en cada grupo

V₂₇³ = 27³=  19.683 variaciones

Ejercicio 2: ¿cuántas formas diferentes hay de escribir grupos de cuatro números (pudiendo repetirlos)? Por ejemplo 0157, 9945, 8118, 4505, 0026...

Solución:

• Estamos ante una Variación con Repetición igual que en el ejercicio anterior, solo que en vez de letras se trata de números.

• Calculamos el número de grupos diferentes que se pueden formar:

m = 10 números disponibles

n = 4 números en cada grupo

V₁₀⁴ = 10⁴=  10.000 variaciones

Ejercicio 3: en un determinado país, las matrículas de los vehículos tienen el siguiente formato:

0000 - XXX

donde las 4 primeras cifras son números del 0 al 9 y los tres caracteres de la izquierdas pueden ser cada una de las 27 letras del abecedario (se pueden repetir). Por ejemplo:

8322 - JEJ

¿Cuántas matrículas diferentes se pueden formar?

Solución:

• Se trata de la combinación de los resultados de los dos ejercicios anteriores, por lo tanto:

Variaciones de las 4 cifras: 10.000 

Variaciones de las 3 letras: 19.683 

Variaciones de matrículas = 10.000 · 19.683 = 196.830.000 variaciones

¿Eres capaz de encontrar más ejemplos? Te animamos a compartirlos abajo en los comentarios así como a realizar las consultas que desees.

Ver También:

• Variaciones
• Variaciones con Repetición
• Permutaciones
• Permutaciones con Repetición
• Permutaciones Circulares
• Combinaciones
• Combinaciones con Repetición
• Número Combinatorio
• Número Factorial
• Binomio de Newton

Otros Conceptos Estadísticos:

• Probabilidad: frecuencia esperada de un fenómeno aleatorio basándose en la experiencia
• Población: son los elementos que se analizan para realizar cálculos de probabilidad
• Muestra: son los casos de una población que se estudian en un estudio probabilístico
• Muestreo: técnicas de obtención de muestras en una población
• Media: valor promedio que toman los sucesos de un fenómeno aleatorio
• Moda (M_o) : es el valor que se da con mayor frecuencia en una muestra de datos
• Mediana (M_e): valor que deja la mitad de los sucesos ordenados a cada lado
• Desviación Estándar o Típica (σ): medida del grado de dispersión de los resultados obtenidos 
• Varianza (σ²): se calcula elevando al cuadrado la desviación típica
• Percentiles (P_n): valor del elemento que es mayor que un porcentaje de la muestra
• Deciles (D_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 10%)
• Cuartiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 25%)
• Quintiles (Q_n): valor del elemento que es mayor a un porcentaje (tomado por grupos de 20%)
• Variable Aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada elemento de una muestra aleatoria
• Función de Probabilidad: función (P) que asigna a cada valor (x_i) una probabilidad (p_i)
• Función de Distribución: función que indica la probabilidad de obtener un valor ≤ a un suceso
• Esperanza Matemática: valor medio que se puede esperar de un fenómeno aleatorio
• Distribución binomial: es una distribución de sucesos cuya probabilidad es fija
• Distribución normal o de Gauss: distribución que toma valores continuos no discretos
• ...

versión 1 (15/06/2017)